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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 O1vK\< r  
Ca&w{.'  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 3IyBLf  
RrKVo~y7,  
　　1、三角函数本质： @#}!Fk  
_KA74H<  
　　三角函数的本质来源于定义 2zLby1Z~Pd  
b`U!6/^$  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 rsgMZ  
iPay_~  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 UnR!gR  
8I T qT  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 0/btWy!<  
p{_)mT 5c  
　　推导： pA EMNb3o  
'bT\ X-  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 J,{+ghQ  
B52|bq  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) @.D$kN  
r+^q"r u  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) #Rx&V+D  
BDO "MvE  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 :~*\|>  
VW.NL^Ob  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） s |yRA  
g&J~SV\  
　　[1] \{lLQlHi  
?[@0Y>  
　　两角和公式 GN)OQ@!V  
PEt7q2E9,  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 4[C{s3=2  
y" Vn  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  9#=6n)\  
-4[J6Mc]  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Vx 0sxH M  
k >tc5|  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB k:gpc=DW]d  
-xk*=F<  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 7E2W|c;[  
>O/Wx2Q4  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) JS3H_.m  
>?YJ^y6a:  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  )X[PAv8p>  
l^$~m3#C  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Ut|Fd"Of  
Xomd+%u  
倍角公式 !DDd '}\D  
dPh/rkyh  
　　Sin2A=2SinA•CosA hY5@?  
{A vI_r+  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 1hk<fn X  
z@}J3@G.  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） |>|gd/C  
D,nZ>>kC9  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） g_3t;C'n  
x(E@hFQ  
三倍角公式 u7 ~#nnRj  
;K/Y>  
　　 ^Um0zw*7/  
j}]6T,R  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) .=Mafz-,  
J1T2u`o0dC  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Wl{iY?  
gvf{-$Z  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) )s,q z7  
#dJ~TU>  
三倍角公式推导 TaJipL^^  
y7pO"Sv  
　　sin3a p1X2hDN  
n\)"6#4  
　　=sin(2a+a) NS!+OIg[  
\ ^Ys 5/e  
　　=sin2acosa+cos2asina nspu T+/  
C2 NSum  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /N58xKw  
I;-&x~3/  
　　=3sina-4sin³a \bUsh,0!  
28[%t=e  
　　cos3a cO $IS<a@  
%e@c}5  
　　=cos(2a+a) sk6:LJE  
2Tc p+mQ  
　　=cos2acosa-sin2asina Yz@6  
LG 8 /6  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa  ^Jrw6/  
poe~j'C?x  
　　=4cos³a-3cosa tVtpB:g  
GLzG~ :  
　　sin3a=3sina-4sin³a K C'U1%73  
iDU3[*t  
　　=4sina(3/4-sin²a) f?<PgG>H  
mjC8o#$  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] C$c^.{Pgm  
!\ s\Nltf  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) NufcV.i`  
,3ZrH`rp  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) k\t`O!YZ0)  
r+cu$x  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] OK'OL\  
m$, t@X  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) *1[^ 2`M  
wG~mK@]y  
　　cos3a=4cos³a-3cosa a|=v.  
0o}q6k z@  
　　=4cosa(cos²a-3/4) qh[:7WF!G  
H3\D(B~s  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] |3G*_`2+  
E`5Q= 7WNJ  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) aa[yP#6  
x&f~%;  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 42[ C7  
5).n,%'O  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} O#bdr/5*oe  
4blqk^>.  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) <0J=iJfhV  
_*XZXd]  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] GmpFk{)  
xZJ > ]r  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] xTZ(mu>1  
R{3TN -o  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) N 0. E  
d!B 8F[]  
　　上述两式相比可得 ^% 5^TMJr  
g<jNFZlw=2  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 27bSho K  
T-&4)|61  
半角公式 #qd Q:&o  
r5E`f&e O  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); c b53`v0  
O3 9M 8O  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. UlOv eMc  
^ rMpgd  
和差化积 ?9*Pt1_  
 %+^@9P*  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 8 z}D14o  
s9+eFxo  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5bw0VO  
yD"3 H"  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] *BCY4 vo  
S>H?#oE  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 0  i"#rX  
FjE5tG<n  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Q[% 9}mc-  
roU4,*q  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) hLgGed  
veBN503  
积化和差 z+!1^q^Pd  
6vW"V  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] )"w-@LA  
 MT2 |>1G  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] T$h C_y4A  
}fB}O$:  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] !62k`z9  
@L7zKT6Rs  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 4Be!? ~z  
LTmH\Hf+  
诱导公式 hE9BWoE  
z`|@  
　　sin(-α) = -sinα Ia1QDERQT  
EOJ<Vq  
　　cos(-α) = cosα )SVrA:[PO}  
Osp(rC)  
　　sin(π/2-α) = cosα `A TMi1  
V$oH0X~)  
　　cos(π/2-α) = sinα :(aE<|  
K|d:4ZTOXD  
　　sin(π/2+α) = cosα :nln(8  
S%Pxfx)8N  
　　cos(π/2+α) = -sinα %F WK$ce  
XN-VN#=  
　　sin(π-α) = sinα sj[ 3e  
CBk)H<M  
　　cos(π-α) = -cosα urdJ*_  
cgoq|)j  
　　sin(π+α) = -sinα l:ay%  
H{k\N2} 9a  
　　cos(π+α) = -cosα KcWsnn[S  
z6K\qRAr%>  
　　tanA= sinA/cosA XA@hUEs04  
(v4.5[Z  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα WB4OD8$  
QY/wx"}~^  
　　tan（π/2－α）＝cotα ={yWQZ/d!  
mffV @{?  
　　tan（π－α）＝－tanα QV8<*L @  
l1#2cha]  
　　tan（π＋α）＝tanα ]M*G*  
$z8RUn\N  
万能公式 sconL#,'  
E57[\h<  
　　 31jzz*:`  
fm(6mC2  
其它公式 ?/ pU PDo  
Pm .HSs  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 V!|iq]!Y7  
[6{a3)  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 OIZ% LI  
|g'7xqEB  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 >1Ugd  
U|/_$Mx=4  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 9mN5'n^0z  
Kh&1&OX)U  
　　对于任意非直角三角形,总有 .s>C  
6Xuu/+r@  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC MAKX'+@zW  
1}H%P,3a  
　　证: TJ7&}T&ee  
z@~a93a9  
　　A+B=π-C P"y~DKv  
A-Jf}1Fk  
　　tan(A+B)=tan(π-C) iSw4Z 4  
$f85BjI>6  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) l H=oP`D  
ips^Q7uM(  
　　整理可得 Ao6Vm+Zm9  
#eJDTh* #  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC t d13_~  
3|e5MPA5  
　　得证 7}Pcy ZMaq  
/6My)A  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 wlT-H(C%  
oc #%UsT~  
其他非重点三角函数 Vtlxp51D_{  
eTdw@ ^GU  
　　csc(a) = 1/sin(a)  JI%G  
P*Y/:T*3m  
　　sec(a) = 1/cos(a) [1<[^5zk  
\%Tm{ro  
　　 N]zQ+CF=  
gszP D~,K<  
双曲函数  &])]:Y  
2s\U?{01P  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 O{6|/UPTA  
xm /Ea  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 9Q63 Tfo;  
\6JCkf :  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) UI D&`1  
H% $  
　　公式一： Bn 3+Qj|  
$LRMJLC X=  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 0I<,3yUw9@  
zp2I9X[@  
　　sin（2kπ＋α）= sinα }_sL9z  
;\43_=b  
　　cos（2kπ＋α）= cosα f_g:K4A}  
GtNA}jF7  
　　tan（kπ＋α）= tanα *Yt{zk wN  
 x%sPw<W  
　　cot（kπ＋α）= cotα +'2j$av  
0_ $H3{  
　　公式二： f3wb:P3]5  
uD `Kg(n*  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： y:.JPGp{  
TQ40yo%5  
　　sin（π＋α）= -sinα !< rR&j~  
tIuD4VPD/  
　　cos（π＋α）= -cosα kT1~!fZD[  
u"6p2q  
　　tan（π＋α）= tanα $ AVK&#  
R! ;  
　　cot（π＋α）= cotα crF#(6+  
1iqjwc/O_  
　　公式三： S+- M\y9?  
GI5h;]hF  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： DXA 9"Ha  
9B'h6(~6  
　　sin（-α）= -sinα yXIhHgL.A  
ThIp*:wS  
　　cos（-α）= cosα fg 9/i#.DY  
]R:7 Co`  
　　tan（-α）= -tanα Zm'`Ac9l  
wE0vcVEmlO  
　　cot（-α）= -cotα _o%d.TaL  
_q#dXz(  
　　公式四： X~js* +g,  
,K5oT4Bb  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： |\< b~  
a*)%'6  
　　sin（π-α）= sinα gYC\i~U~2J  
90OQcZ4V  
　　cos（π-α）= -cosα J;8i93Tzu  
6qe.}  
　　tan（π-α）= -tanα a[VKyW  
x~$ ya R  
　　cot（π-α）= -cotα wGP=Cyo?kn  
u-:ZUf2  
　　公式五： M-gF6: 6  
< \ <Ze\  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： PD0X,o  
o72X8Ag6M  
　　sin（2π-α）= -sinα TcMIt%c  
xPI im$H  
　　cos（2π-α）= cosα Y&2!:P  
J&e [,:>.  
　　tan（2π-α）= -tanα E?PNEO%  
Gy@\V45=  
　　cot（2π-α）= -cotα l2-+i>&+  
U`L`ifY<  
　　公式六： sH1 yzg  
+|b C Mo3  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： h[JT$  
pqaO.S  
　　sin（π/2+α）= cosα O.: Gx6Djp  
AAv5K+oN  
　　cos（π/2+α）= -sinα yb S<.N`(  
-F db >  
　　tan（π/2+α）= -cotα M[F[u]  
awT|Xj";[m  
　　cot（π/2+α）= -tanα Y5Je$V*7b  
k&~] Fhs  
　　sin（π/2-α）= cosα +xSLu  
K9~(E  
　　cos（π/2-α）= sinα ~WgsEAm  
BWE$*f]ua)  
　　tan（π/2-α）= cotα G)*].H D  
C? jnv*  
　　cot（π/2-α）= tanα \%)BJ1ll  
|lr ojEZ"  
　　sin（3π/2+α）= -cosα "zBMDVwL|A  
Vapp! ~\)  
　　cos（3π/2+α）= sinα XKV2!u  
J*_.e<>^VT  
　　tan（3π/2+α）= -cotα E!s:mTut  
J;/9 S  
　　cot（3π/2+α）= -tanα #b41>m^  
E_PW>dG4  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 5Iw,R<  
ry+v;]|B@  
　　cos（3π/2-α）= -sinα r F<T/-  
VC<INvIM  
　　tan（3π/2-α）= cotα 0#1F+k  
W/pC:[LZz  
　　cot（3π/2-α）= tanα GcNs D XYM  
Fig hlYI`  
　　(以上k∈Z) 4 4X$,2  
)IOZ{h  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 E?~!AZi  
kwN*V[]7x  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = }lW.k=  
?lMnFs^  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } FnDG"oq  
%:%^m!${  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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