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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 / n&Kqqk C  
qT-   
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. &r~0;w\*  
O)R <}  
　　1、三角函数本质： }W$kc"M4H  
,{x<Hh&a5*  
　　三角函数的本质来源于定义 ~;ar:>.mo  
Jj  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。  PHQ}a~  
TV!p<+O  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 j9m Q(,u  
;F ]i\N  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： xO XN_  
/_Gd.;z  
　　推导： Z~nZzvs(_O  
QP153  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 !NnAl;-l  
M\9c$M6B  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) |}*d<`,  
|)rHh$#F_v  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) oWg3i*lq  
i7%?@P8  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 g?6@gnD^  
WRZ$/#z  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ;VY'\  
v$3z8p7  
　　[1] XQ3 %x~  
+pgiG@o<  
　　两角和公式 U(7g5I!J  
){T<  T  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB W.QOO}v(4  
#{J-Pq  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  {p;4M|_r  
jnq}7_  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cx1lQ} Wy  
sbu-(  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB K3_%hZn*n\  
Ow 6" p.  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Ot m?^U:oZ  
mrDg4~+ Q  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 1 21#d  
\J${=cySo  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  l!yQ4A)k  
)I'T+xR>  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6:h:i7Z   
HE~ZvUh  
倍角公式 [exz{p `?  
C$ 8a!ue  
　　Sin2A=2SinA•CosA fkIPE,Mb  
-?-B8z  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 \biA~b6  
#MtpJ0  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） q5w.-k  
&.1MHD}Gs  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） (07\Gyv  
G*[L9PeuHU  
三倍角公式  ??4?M  
:*;FeFD;T  
　　 c},Q;o  
N@Nhfhe9?6  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cYdof"Vq3  
zOA#HIz2  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) s?\xm-D`c  
I9R?$(x  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) /e k6\\  
=iu 6Wy  
三倍角公式推导 _.2Hr'O[  
k1.Oni8_F_  
　　sin3a #^s7`$K  
_eSQow`(l  
　　=sin(2a+a) b1 D'o7)N  
?Nh %|DO  
　　=sin2acosa+cos2asina pD!VcC^&^  
f`,5x{K  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina *qEN"5QB q  
9 R[ud  
　　=3sina-4sin³a <_F1"9OEF  
d+9h  
　　cos3a ssZf|@;8  
},*Q 5  
　　=cos(2a+a) X l7 "!y6  
k0PnKu  
　　=cos2acosa-sin2asina |q{ T*yv  
_i/ar`Y  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa s11bz"Cg1  
+hA^WhSK"  
　　=4cos³a-3cosa 3lUw~|_e.  
cIsTa!E  
　　sin3a=3sina-4sin³a SI_.]Y:  
k8G%zm  
　　=4sina(3/4-sin²a) 2n UXyN  
fttRe$P  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] %9 >$*W`$  
8fB{|m_n  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) I4_\j:g-ry  
gM{"O  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) \}KE\l-  
5h7aSJ3  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Q"@A2G{YF\  
CRi%U  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) pbV.M. pj  
"lx;OJ8J=  
　　cos3a=4cos³a-3cosa _`xBJ:"  
,!irak2[F  
　　=4cosa(cos²a-3/4) an,ReS(<  
nM!IMh9I(  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] HxxI`  
$Yr6"9 i  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) d`56%gD  
jSCWuHx  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) krW9` ,9  
nnaTrw}E_  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ynFO)rs_  
 8=cun^  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ZSPHD%  
}QRU?g!Vc  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] #v(c*[6^  
kzcctkd  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] F) b4d~#  
LTm,b ;  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) .,d=nv% T~  
AYXQx@v  
　　上述两式相比可得 jz=b6!M?  
)9#8<\&.  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 3*DF\Y fd  
P'Gs>~f  
半角公式 /ub3v?QR  
g*65j  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); es_}!b E  
a1` ,:=&  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 1q"~ V~X  
ap tp+Y  
和差化积 urJ: qq[c  
tFy#^^Lzp  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] xt7X(E  
2w(Z\.3s#  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^ %?Dc!  
[@bs~}b  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 0;JA,>n  
~x4M;_'  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] tTJ JT  
{Wt1&9C  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =Ei gMn:  
hK,Nl}W6,  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) `#Q;@r  
^4HcMiZ9<  
积化和差 t.^G3N^:  
Eh6 V/c  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] j(Rsl*X  
`X1]>  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] $dNyc2j_  
?6B U=[  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] cP<t;4t9y_  
A9^/,kDQox  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ?AS7/s3  
.GG2dw}:$  
诱导公式 LXkdhlft5  
 #{a)/LU6  
　　sin(-α) = -sinα =Ue3QWqr  
T$1v8V I  
　　cos(-α) = cosα ';WnBjv~  
LM_ 4hBjO  
　　sin(π/2-α) = cosα \!b#j"  
4wgr<<yy  
　　cos(π/2-α) = sinα :%y u]6  
~X)lbbL>  
　　sin(π/2+α) = cosα VzRn&M  
7]c )3n3v  
　　cos(π/2+α) = -sinα SS)DMZm(  
T v#6qq  
　　sin(π-α) = sinα fJoK5 5gg  
\\}xG4 f  
　　cos(π-α) = -cosα ?_sOLPw  
bqA6UE  
　　sin(π+α) = -sinα b i.cC>[  
bYx^ 7l  
　　cos(π+α) = -cosα |RcS2wuL }  
B Aa  
　　tanA= sinA/cosA 9d+a*  
I Fv dj  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα KLcR= (T  
nFz_(R!n  
　　tan（π/2－α）＝cotα ~Pck_4{:  
CioH]g6|  
　　tan（π－α）＝－tanα SFH2WZF  
CpE|T|,  
　　tan（π＋α）＝tanα H8s;!FR_D  
YlI=pZ?\  
万能公式 Q|Z\w(`|  
R]Q+WH\v{_  
　　 . ++R3O$5  
:Y,B.?dp>  
其它公式 _^P>+NOJ  
44#O   
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 YyI!T"ty&  
@`bMf4NK  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 N[s/z__v  
CiBKyhU`5  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 VGHY) jnG  
G@#.7:>V':  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 `rN"!0ed  
!b|NbavKaB  
　　对于任意非直角三角形,总有 U!st!c-q:$  
n80Dsv.+  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC QR]\VV*  
is7!"oR|T  
　　证: OQid X'  
F|o( H@  
　　A+B=π-C _X*\\S%g  
oTJE1)#T  
　　tan(A+B)=tan(π-C) F#%'<tm&Z<  
?<3m|1;o  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ZOQ-~D  
q-~2u!C%|_  
　　整理可得 ,{|EqBH%  
"_E|kz~}  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 0kb:p bi  
Ls'seJU  
　　得证 \p J09"9  
/,j @cpIc  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 (wT(J1X2y  
blC]3"?6U  
其他非重点三角函数 \Z=-<2|  
8FO`/@  
　　csc(a) = 1/sin(a) 9GD:3RPD  
 {27@\B  
　　sec(a) = 1/cos(a) tVSc+4xx  
D&wmiuWK  
　　 5(nvHy  
Ks]eDUW  
双曲函数 fyKGsj@U  
tz+ }"5{a  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Lx[k9MC  
xNF9rj(  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 jiJRqfvT9  
CD&S*l^x  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) a:XblwJr  
-~VAP .M  
　　公式一： st(+_6u:  
R|lE?6Zl  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Hh({`-U  
RYJMH`Gv  
　　sin（2kπ＋α）= sinα W %o'M[  
/ 2^ "k  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Y PO%n  
.\ KF1)  
　　tan（kπ＋α）= tanα :iI;nO  
=*iGj$X!|D  
　　cot（kπ＋α）= cotα i.1a_mN@  
z:':Z|L+2  
　　公式二： [[9%0b)-  
+_+W/GRf  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： o2V-Z"m1  
3Tnoof  
　　sin（π＋α）= -sinα gH39FI|w  
do]+mfV  
　　cos（π＋α）= -cosα t7 wr^c>  
mca48a#  
　　tan（π＋α）= tanα , Q#  
lB)aamr  
　　cot（π＋α）= cotα UMi0/V6T  
B7F,CnH  
　　公式三： X&tpewv  
7u' Vexa  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： QUI(sJD0R  
Dkf1N  
　　sin（-α）= -sinα ;56oLA=L  
X_6e I  
　　cos（-α）= cosα +cb zp"K;  
W{lUFa6w  
　　tan（-α）= -tanα DJ=z{^8j[  
!2'_K Y  
　　cot（-α）= -cotα T<54=v~BL  
k}[/*9jx  
　　公式四： Icq MI9,q  
M-UDF0Zg%*  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： NA]q|9<QVG  
q419xcAiy  
　　sin（π-α）= sinα z&GEH=nkL  
WRi(lZH<  
　　cos（π-α）= -cosα AMOXwinO<  
N5<}jqWj>  
　　tan（π-α）= -tanα spGQyd1F  
-x{jHi>  
　　cot（π-α）= -cotα #fgLvIS  
q@\oPq  
　　公式五： VI^|5* ];  
e@2e<^  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Anf4iE?  
Zaa'V".  
　　sin（2π-α）= -sinα +%`4i[AO7  
(vs8=p,-  
　　cos（2π-α）= cosα Dwy@  
=2qzkx[M  
　　tan（2π-α）= -tanα  >xI%F-  
*<Fz$IOh4  
　　cot（2π-α）= -cotα ]{WHIi-3I  
=M p_@  
　　公式六： Cd :DZS  
-ESx<uMN(,  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： hPx(sr  
g 4*Z1  
　　sin（π/2+α）= cosα 91.p F~Q  
kHuYZf  
　　cos（π/2+α）= -sinα SEZ PDxm  
s@ziWvV  
　　tan（π/2+α）= -cotα 10f;Bm =  
s[+$Ve A  
　　cot（π/2+α）= -tanα xs]y !5'  
X;iDeVb  
　　sin（π/2-α）= cosα & VEO6b  
eZR"a cm  
　　cos（π/2-α）= sinα >0y%L3 o  
`Czf  
　　tan（π/2-α）= cotα 'Y6-3 J(  
/r-m}P61,  
　　cot（π/2-α）= tanα c_rA"#29d  
YIckj)ao  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ^F ET  
Oy=nFZ  
　　cos（3π/2+α）= sinα :{EAlE(V  
vJA0h[TIS_  
　　tan（3π/2+α）= -cotα na{ s_L^"]  
9-005* !  
　　cot（3π/2+α）= -tanα JBR>J 5_  
p`:<X  
　　sin（3π/2-α）= -cosα kkVcF.  
$~!z2F].  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ' @bBL  
y G%&~=lv  
　　tan（3π/2-α）= cotα {5Kf]n4tw  
WeK9z@T  
　　cot（3π/2-α）= tanα E!e+Oz  
/b)7(Rt6  
　　(以上k∈Z) R8.Yq]P  
G8^bP {e8  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 D(T; :Yw18  
Ii`9L"i  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = f?QE/ESQ{T  
gR;:5U  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } lsw5%2# 1  
z~G" ]j  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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