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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ,~j^ *e&2n  
:pydUdI|  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. C15X0f  
}eY*"\  
　　1、三角函数本质： .)=aPTl)+  
Y7iO jp#a5  
　　三角函数的本质来源于定义 nRLB ai'~>  
6v `a +  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 k3Q#[f/p  
kJ;{cyP Q  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 H1 k <Gl  
jijNK"m3  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： bk>&GRX0 5  
SM>P_pOS  
　　推导： T*M#j_>  
4"Y =U4y  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 gdS'y%ki  
`EgHrwP>  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) e3" V!e0  
(WSUJ[pT&  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) A2.?3<cw  
w/?o (~  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ;'Qs*Zh  
OB/[,D  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） cw0IAUe?_,  
2Rm^lXlKja  
　　[1] R|^;|D $  
A`!8  
　　两角和公式 S$USl.C,m  
fzz2KNlL  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB *Z dnX@%  
./A9E&Ed  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  }([5Qq|ke  
@j u>2I+9$  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB |y9j %s   
gk'0{ l<4  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ~?1mPy,}  
c"y Lwz]A  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ]rYDt(  
#4E,!4 1  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) +[W..{8n  
5a):{VLypt  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  &9[Z86H6  
IKVA/g  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 8%xmt9 <Q_  
7#[D^%=#  
倍角公式 ?0@\HYyIpN  
mROb-qHw  
　　Sin2A=2SinA•CosA 4OjGp"  
UYb8E8D   
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 unbb=  
`3)9jRXA`  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） nGzez=_  
^slLTGh  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） x UC'u7,  
BYb[A4JRh  
三倍角公式 e2 <6L s  
brPN:VTkN*  
　　 1 tX'v1  
1DY;:zd@  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ,m2\ nT  
jH~dks4D  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) +NMg;b^  
-!1 no-I,  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) IOhreDTT F  
I)Lg?6'~RO  
三倍角公式推导 K]F5'F"  
,aKlf1A  
　　sin3a $dI_2WcB  
$wGvpp  
　　=sin(2a+a) p0!U?v0_  
FO{Q&Z L  
　　=sin2acosa+cos2asina >;9i#j  
G0@jqP  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Ma /=/DG  
hw*B a  
　　=3sina-4sin³a 4Ud%]gkv  
3>jyw5  
　　cos3a T(_e $oB  
<wPV4i;J8  
　　=cos(2a+a) 8HS{jdfse3  
m]*kC$  
　　=cos2acosa-sin2asina >KMogC  
\ch74&o  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa !IP!A^;p@  
/O@&^m^PPY  
　　=4cos³a-3cosa YC*V~F.9  
/$AZMG)a(  
　　sin3a=3sina-4sin³a 7ufH   
^u n)`0"a  
　　=4sina(3/4-sin²a) a?!jg;  
BMDd+y_K e  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ] D 9~[i  
@<S \_' ,  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) @ee9p{`*  
q]},  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) h)_I5C  
8Ir55t  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] w`&&.1  
TG-7wiN  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) wX1 w&W'  
))WR(1  
　　cos3a=4cos³a-3cosa _ 5 qGI.JE  
a(n%-P_O  
　　=4cosa(cos²a-3/4) wibruAdlpV  
8l{**bYt  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] tPJ'cs"&  
\|$ EU#,  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) G( Y~`vP  
 eTWa18  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) T2_oSLQ*  
K&f)1"  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} f[ B]3  
>vT 3Cb  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) u|`$ap  
`udFBD  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] +q7!Mt0  
b_,(*S  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Kr]XB>k^e  
^%HOn;  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) {_,*:%p2J  
WHek pT  
　　上述两式相比可得 hC H/kx3  
fl8<gO  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) c@G} hW Q  
YXb]s Dl  
半角公式 #KB8X{O+N  
a->J0+r~^L  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); @.Etg9+Hu;  
58U nR(  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. w+h@n=ebd  
EANbc"RP  
和差化积 }~ZeIZ9  
nUwn[p?  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] um>kH#J  
jR,OV+C| ;  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] n`c!54g   
/KLAQb4%  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] {OY],PI'(  
"K+J}Hyp  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] A 6 nui  
Dbb/9  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) LA`m.-  
x((T W7<R  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) R ;hTmz#o  
s -,/wr,[  
积化和差 "seoJjLq.  
}OuCZc9!  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] -H} [ am  
JQY[pH-  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] t#E`@zDH4P  
Ef,Dp  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 6E7'nUGk*  
}U+<G~6X  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] U e9th0r  
@h'gC@MZ_  
诱导公式 $ (/EZK^  
 q.8U  
　　sin(-α) = -sinα hgi|r2LJFM  
+YD<cpC0_  
　　cos(-α) = cosα mg,3`=V7  
=4XIL9  
　　sin(π/2-α) = cosα CH' ]oGhG  
&DrI'u  
　　cos(π/2-α) = sinα 7B &gP  
8ONFfP  
　　sin(π/2+α) = cosα Gl3|{^|)_  
0 zUZ5  
　　cos(π/2+α) = -sinα cHLMMW3|>Z  
\S~q=[  
　　sin(π-α) = sinα z#;y$~   
[m}QuL/ x0  
　　cos(π-α) = -cosα (00.]wX  
lwD1lmVO  
　　sin(π+α) = -sinα + VUY".t#  
(%uYOF&ZH  
　　cos(π+α) = -cosα KJ?/:t )  
rIL<S  
　　tanA= sinA/cosA k%nN bT  
;Rs7`.NJ  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα k{G5rEBCEb  
!-6FANfx  
　　tan（π/2－α）＝cotα !@}2;z9E[u  
G_6g~zI =  
　　tan（π－α）＝－tanα "k 4   
]jW,KuHSp  
　　tan（π＋α）＝tanα #6"XX  
-V :R9N )  
万能公式 f>Y%cw~  
e"i3J.  
　　 A/yeHXpa  
F)%:ky.  
其它公式 8VI.aFh_  
 @qa8|xo  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 z\1*OjP  
`],N4F&oC  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 b`y;?|6"*  
-91KqcvYO  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 :t4~Nmh R  
 LY/J~I  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 H{c> LOT  
:#8p$O5!  
　　对于任意非直角三角形,总有 y F[Ywq%  
'@+6AQ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC * *h|M({  
A Di8K  
　　证: xjTWe"g}  
txm;rM)G  
　　A+B=π-C -%'sk0Hk  
pu O2npz  
　　tan(A+B)=tan(π-C) >%F=?  
c8CB!&  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 6ES 5\h /  
ui21c" u0  
　　整理可得 6 ' ]L:?U  
(ji%ZArl  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Aq%DR*3  
0'GrdG Q:  
　　得证 pZIJQc<?D  
({~)9'D&  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 hIR uu2Kw  
Qp&RTA  
其他非重点三角函数 )[BEgRj(  
/_r;/Z:  
　　csc(a) = 1/sin(a) V xW}&w2p  
%'TPrWNz X  
　　sec(a) = 1/cos(a) =?G0)m1a  
5Pc3."  
　　 p2+m0'  
R< T<,  
双曲函数 L]C0I)  
,>#OzN  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 YcD j?v  
aIghCg V  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 D$V{g~=ID'  
t_]DfYE3  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) -nAvE;tCy  
2A-y#3-XU  
　　公式一： [-10S#GN  
;8oWM2>  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： rr<+x 3u  
ye0a!2]P?  
　　sin（2kπ＋α）= sinα )xZS<  
%ZNdPl$  
　　cos（2kπ＋α）= cosα @S$zHu  
!j&oxA/  
　　tan（kπ＋α）= tanα Lw~,M%"H~  
B8Kz;G7   
　　cot（kπ＋α）= cotα V {{Yr7  
3d:]2I  
　　公式二： Px.xiC8  
USlxXU  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 7&H-Q\f[  
Vny{t&Y}g  
　　sin（π＋α）= -sinα mx14;x0  
9RE~EPG  
　　cos（π＋α）= -cosα ;&.SL tr  
0}iu<1*  
　　tan（π＋α）= tanα o(l/}v0{  
WC8%Q)4  
　　cot（π＋α）= cotα OTL~J>  
M JEC}-D  
　　公式三： qY#lit  
g`H$iCVa!T  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： x^aw=9dEd  
CG, E|J  
　　sin（-α）= -sinα rcVh!|>  
y#RT5;/  
　　cos（-α）= cosα 3-2RZcVvu  
AiV5ERT/  
　　tan（-α）= -tanα B`h14m'@  
@WqMWKm  
　　cot（-α）= -cotα B}c{[g3|  
?H4?D WJ  
　　公式四： ^JU!hXVHi  
3~<.4/J9  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： onKr^'6  
R</D  
　　sin（π-α）= sinα BG->!v  
cHy 8fZ$p  
　　cos（π-α）= -cosα ay Jw?F8  
$ImamP  
　　tan（π-α）= -tanα kt"oY{pY  
+9&,-q  
　　cot（π-α）= -cotα l: Dy[N{  
w%@`RJ/ [  
　　公式五： Q'=-)u7e^  
KxPN~Ut]w  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 'SU.CT  
N^J?  
　　sin（2π-α）= -sinα mlu0"1 _W{  
q:yPd*c^C  
　　cos（2π-α）= cosα ae$o+s  
>2 /qJ^Sf  
　　tan（2π-α）= -tanα }A}X~0|,  
j='$c  
　　cot（2π-α）= -cotα i[~9>v12h  
c,UfX!h{  
　　公式六： usvK+AI   
^4nE7 .}  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： n \u:jen  
y_/GTh4G  
　　sin（π/2+α）= cosα L6FRca~  
WCfK3)C"  
　　cos（π/2+α）= -sinα \jublpVeH  
_Fn`xZULg7  
　　tan（π/2+α）= -cotα G,h8-9{v  
~8]Ua0  
　　cot（π/2+α）= -tanα .%AYgLS  
(m0+jorK<O  
　　sin（π/2-α）= cosα C :a{u86  
PD-!"}ka  
　　cos（π/2-α）= sinα #tvvlQ  
O|"sC@ ;  
　　tan（π/2-α）= cotα 5~{]_`R,  
<`k],j   
　　cot（π/2-α）= tanα HE+xFVm^  
Sx#kk1*j  
　　sin（3π/2+α）= -cosα g?'B3%Z  
\l#-iH=+V  
　　cos（3π/2+α）= sinα ~{ )gBV  
7JyS qi  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Y#t14"H&  
W=q7f!9$  
　　cot（3π/2+α）= -tanα S %(U~RV#  
Av%G8`?n  
　　sin（3π/2-α）= -cosα y0nrG?zb  
 7jWaY#  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Ix7 M  
/ 4FS"  
　　tan（3π/2-α）= cotα J"MO+1=Ko  
 4wy%LW  
　　cot（3π/2-α）= tanα T0Wu{]Px+r  
\* ,qoobV  
　　(以上k∈Z) d ynHL  
(,q=xcGt2  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ^$)*D*  
&H;G& R_  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = k^Z  
jo4g$Bc9?2  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } * p.JFU  
0<,%{j,  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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