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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 UW2r}3T  
= h"-nSD  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 8Iun0>-  
`I;pZ:  
　　1、三角函数本质： TGUIbh  
Q(:;>}#2  
　　三角函数的本质来源于定义 Ts95F|I,  
6/#9R(s>  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 &z/h!y('  
@Sz<  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 $uz^4 1 !7  
:o7e1tPV  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： #BU_y`a  
%U8d  
　　推导： Llz fnNu  
"~v`\O&  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 0ADm)  
t!,UX% 7  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) lLP*K O~+  
|zBjI=Rl  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) gDjXs+ I&  
:YQ<o*>IG  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ;S i[9j 1  
C3}G?'  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） !6\d7r<q  
Di,#E/D  
　　[1] abx !=f  
"dCY  
　　两角和公式 Kt[wE5  
9Sw$*[v(v  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB KA4l}Y1O  
c2gJDy1b0  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  P'[UE^fN  
vA\!!7m  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB N8q-SO;5  
M,Z9OYs  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB K0ta|wl)&C  
LtBU@G>;E  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) w7fp)\9?  
'*&Z$~n  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 1V &[!wA  
rH]mSHI  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  6? ww-j  
2l8+h`m$  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) \f%=n)L}`  
Pfdd4".M  
倍角公式 }^Ipz7  
Bv x$V,  
　　Sin2A=2SinA•CosA N<75eiX  
_>I6:75t?  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 yRp"$Pd  
(PZ5-S03,  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） >'901J7u  
*&"YZ6ez  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） z: sK-n;^K  
<hsV8-/YY  
三倍角公式 XJ YpYw*  
0hX9oSyN  
　　 ) b;N-K#  
.C3GD<  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) nm6\',  
\ w4lA l  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ,(VM-a66I$  
57>VNbcO=  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) mp6W5BSc  
H~s&S"mbb  
三倍角公式推导 `<zzQhM  
^O Wx%G_j  
　　sin3a 1+fya Ajj[  
D Qj<\&  
　　=sin(2a+a) xqsR# r/  
|M3.mUa  
　　=sin2acosa+cos2asina J1n8dYZm  
M~kgo0RWN  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina U@?aR$h  
[=/UXt[|p^  
　　=3sina-4sin³a "GcIA_=r7>  
{H T[c5  
　　cos3a CJ7\z T=  
IaU\<h<Y[  
　　=cos(2a+a) WTF,*c  
[mu~|v  
　　=cos2acosa-sin2asina eE=*'?t  
yU2E5mNM  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa $ =g=8a%yW  
s/&//-xQ}  
　　=4cos³a-3cosa ?z YopaFT  
X Ln4a$oe  
　　sin3a=3sina-4sin³a eR_ vam4  
FS?X\N#g)  
　　=4sina(3/4-sin²a) @11D).`  
$ESc  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] h}x3k/0  
)7oc/{[~  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) `zy2bA4w  
2Vibbb  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) @ejVtn'X  
f S=?-  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] @{jb) D"  
mB,0 qAy  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 6uiZAtH  
EY_i+ /?  
　　cos3a=4cos³a-3cosa }z d*Y  
`^(SW H  
　　=4cosa(cos²a-3/4) _e{5t 8 ^  
WvNXCnB\g  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] iBo f3KV0  
\<|Z+= Y$  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) HiQ8yO=  
e1q 4DE["  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) gLA%1YW2f  
QCH A  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ,P@fEDhc&  
o,hEzi:2  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) D\2Ia[),  
kE e~)^  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] &"{a31y  
`7\]a  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] KL28z&Lm  
kC[1"h\_  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) X*[@GcroN  
6u]00:r  
　　上述两式相比可得 4 LOV#  
-hN`n-^EL  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) DKbmZ2%'  
J xa/`Nj  
半角公式 tSDLGA&y  
iZ;, 3Y=  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ;iJ G}3_g  
IbR;ycR^G  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. to=Soq  
)m$dk%l@'<  
和差化积 M#^=:,hB  
8iX2]a%uB  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] C&3"A.[C0  
{Df%Ir  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] tNwNd99>  
PoxWa?$isc  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ~-FHf a  
' U8fTe{  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ._=m5?s  
a, R8_`6  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) @kyww*Q  
g k5hpOZ  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 6\bh!_#,  
|d_  F7  
积化和差 ]w'`i  
tcI%8k  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] <nb,/@k9  
@n3oZM*.!  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] M!^5AWuY=  
D*G:FOYO  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] zFkN1Hf  
)Ba+@Le  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] &/U7!e  
 "hX7=P  
诱导公式 f!TKu  
+;Tu!&a k  
　　sin(-α) = -sinα d]~m B}\  
Bw36a\"jvt  
　　cos(-α) = cosα ?@w^_2X\=  
e!`m vm  
　　sin(π/2-α) = cosα p1VQ\  
A<z1Jeg  
　　cos(π/2-α) = sinα o +5 PFO  
[ov21Vl;V  
　　sin(π/2+α) = cosα cMzS_0jd  
p5Vs }5^  
　　cos(π/2+α) = -sinα 3M8M~y-%'0  
z>&IY^= G-  
　　sin(π-α) = sinα mu7zV<vy  
/6m@x xo  
　　cos(π-α) = -cosα au*6L3v|  
]o/<3;  
　　sin(π+α) = -sinα t;4rq mL  
cYU(6A,  
　　cos(π+α) = -cosα pJ= rgw(a  
iYqGFa  
　　tanA= sinA/cosA K:7ca*  
shS F&/.  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα uRz a(Oe)  
?ZQp  
　　tan（π/2－α）＝cotα qCfQ+ H  
d!9Z(`  
　　tan（π－α）＝－tanα ;o<CYQ6tO  
WR+mr0Na  
　　tan（π＋α）＝tanα ?c:QOY}4  
Ow YAd  
万能公式 ` N@%nA{  
!6&XMfDca  
　　 DBZAv@0q  
3<BmwGhc  
其它公式 Gx51 &'W p  
ELQS&d  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Dlo Wk5-  
n[]u <c  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ;!).L]lG  
F=e' Z  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 1~\Jb26  
83#Sy?(  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 xmwW&Oo  
Cn*~LbZB  
　　对于任意非直角三角形,总有  0c9y'~  
/08~}~#  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC wghl8R5  
@-<=5yB]  
　　证: "cseLG}  
.DYaRX 6l  
　　A+B=π-C K.{;/Z]y)>  
y1 A p'  
　　tan(A+B)=tan(π-C) )3N6/$[  
OVm+kc   
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) _N E  
&Wg9]ue?  
　　整理可得 ^*$^R50  
&%=}L |[  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cU <bM\  
y^R6ag@Hf+  
　　得证 QEk$up  
r9 O{ vn  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 PZ *=-  
[zHS<Xb9  
其他非重点三角函数 N3t+^:0  
S H*Ax[  
　　csc(a) = 1/sin(a) O, ;P cD8  
H%%1zUpB  
　　sec(a) = 1/cos(a) '<V!GqFP  
y?`I2,fr\  
　　 =9i6J% .  
$eG{G|]/_  
双曲函数 !8fRN:  
oe: ][kcV  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 j4Tb|I9  
yi#9j+bTV  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ["e\2[*KM  
T#7X'ZJG  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) C{X V3 F  
-y (|T|9  
　　公式一： { a jc5d  
SWq 0+o&[  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： %y@jjFyn  
1-}MY"*e  
　　sin（2kπ＋α）= sinα B@$>{"0  
0%H+9[l  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 0^4juA1 cL  
9(r.TW:e  
　　tan（kπ＋α）= tanα Qlqfs !  
Kr=<=>B  
　　cot（kπ＋α）= cotα Ad_<dB4hX  
i8v n)|  
　　公式二： A; e=W,m  
<XOnI e(6  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 1vY*Wi5Nu  
hvDtv?AQ  
　　sin（π＋α）= -sinα ,@ my   
$ORLj}7Td8  
　　cos（π＋α）= -cosα *O~ ~0&W;  
!I#B$5>  
　　tan（π＋α）= tanα "774[(67NG  
,]t+idmZq  
　　cot（π＋α）= cotα k#WHN-} 3  
8K:I~`0,  
　　公式三： ymBbEd$l   
<*Q$Y~nG  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： {=f*FIG-N  
''6  J  
　　sin（-α）= -sinα ]Qq*?)^nN  
|i/Gc7Wm  
　　cos（-α）= cosα 'Gny!zo  
w_2{ Klf)  
　　tan（-α）= -tanα MZOR}3  
'C J \G  
　　cot（-α）= -cotα RkAvl tU"  
sHlEPG  
　　公式四： N32)  
"\Le"~):C  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 9&&\o[D  
k-xXHsk@Q  
　　sin（π-α）= sinα O-,^!Q_8I  
<Y=V+pQVf  
　　cos（π-α）= -cosα dT 7 n@:  
"S2k NEkl  
　　tan（π-α）= -tanα wRq=qBCQM  
}'7.] 1{  
　　cot（π-α）= -cotα c{h L| O_  
I0 s8y@  
　　公式五： g{ajx(b  
B2vury9Bn  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： u+cA<Kx  
rlWW*;J=  
　　sin（2π-α）= -sinα 3scJ=*V7  
x%^vAJws  
　　cos（2π-α）= cosα e-b>moWR  
-lc N%;P)  
　　tan（2π-α）= -tanα gfPn:pRcL  
7~u03yi}k$  
　　cot（2π-α）= -cotα ^"(Vke  
~U5S,1C  
　　公式六： aP1l B;)0  
LNVA?j  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： =|/8&)s  
AWDkShE]  
　　sin（π/2+α）= cosα .3#W=FyL^  
 k,nOz%  
　　cos（π/2+α）= -sinα >~ Lm,o  
C$2KW0/  
　　tan（π/2+α）= -cotα WqYfaE33 2  
`Yn Wl<^S  
　　cot（π/2+α）= -tanα qA|.81(  
V)S9F[IO  
　　sin（π/2-α）= cosα N{mS=:SC  
1[t/Y&`,#  
　　cos（π/2-α）= sinα ED?n  
0{zJU LT  
　　tan（π/2-α）= cotα i!p=e_"  
~/zKq'  
　　cot（π/2-α）= tanα Y5f;!'Vw`  
EIHC}~X4  
　　sin（3π/2+α）= -cosα qR$R@^S  
<vs0a.Fq|  
　　cos（3π/2+α）= sinα <mUSSF  
iq<#zx<  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Ny$EwN`5  
f"GDEu  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 0 V\.nH  
!L9IJ 6Y  
　　sin（3π/2-α）= -cosα  ZHyD@  
O# goR qF  
　　cos（3π/2-α）= -sinα $}g|T"*~  
^5N]n8l  
　　tan（3π/2-α）= cotα vA+"-<dg_  
G.J{: i  
　　cot（3π/2-α）= tanα 1ECNhyLK  
WU zMlqfc  
　　(以上k∈Z) hF!iz#15M  
su@?l~K.5  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 z{`=#(  
tWa0)yP  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =  H5]Gl  
o|A-&]C6  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } J!N*F1=  
VM;)R .R  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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